Integral - Versionsgeschichte

Fmrauch: /* Weg als Geschwindigkeit mal Zeit */ überflüssige Überschrift

2025-02-11T00:24:22Z

Weg als Geschwindigkeit mal Zeit: überflüssige Überschrift

← Nächstältere Version		Version vom 11. Februar 2025, 00:24 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	Häufig wird das Integral benutzt, um Produkte der Art '''f(x) * t''' berechnen zu können.		Häufig wird das Integral benutzt, um Produkte der Art '''f(x) * t''' berechnen zu können.

	~~=== Weg als Geschwindigkeit mal Zeit ===~~
	{\|		{\|
	\|Da die Geschwindigkeit als Wegzunahme pro Zeiteinheit, '''v = s/t''', definiert ist, kommt man auf den Weg, indem man die Gesamtzeit einfach mit der Geschwindigkeit multipliziert, d.h. '''s = v * t'''.<br>		\|Da die Geschwindigkeit als Wegzunahme pro Zeiteinheit, '''v = s/t''', definiert ist, kommt man auf den Weg, indem man die Gesamtzeit einfach mit der Geschwindigkeit multipliziert, d.h. '''s = v * t'''.<br>

Fmrauch: /* Unbestimmtes Integral */

2024-10-11T20:53:28Z

Unbestimmtes Integral

← Nächstältere Version		Version vom 11. Oktober 2024, 20:53 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	\|}		\|}

	So ergibt sich für eine [[Parabel]] mit der Standard-Gleichung f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c das Integral F(x) = 1/3 x<sup>3</sup> + bx<sup>2</sup>/2 + cx + d. Es kommt also eine neue Variable ''d'' hinzu.		So ergibt sich für eine [[Parabel (Mathematik)\|Parabel]] mit der Standard-Gleichung f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c das Integral F(x) = 1/3 x<sup>3</sup> + bx<sup>2</sup>/2 + cx + d. Es kommt also eine neue Variable ''d'' hinzu.

	== Bestimmtes Integral ==		== Bestimmtes Integral ==

Fmrauch: soweit erl.

2024-10-11T20:52:44Z

soweit erl.

← Nächstältere Version		Version vom 11. Oktober 2024, 20:52 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	~~{{Inuse}}~~

	[[Datei:Mathematischer Aufstieg zum Integral.jpg\|thumb\|300px\|right\|Mathematischer Aufstieg zum Integral]]		[[Datei:Mathematischer Aufstieg zum Integral.jpg\|thumb\|300px\|right\|Mathematischer Aufstieg zum Integral]]
	Das '''Integral''' ordnet einer [[Funktion (Mathematik)]] eine sogenannte ''Stammfunktion'' zu. Es ist die Umkehrung der ''[[erste Ableitung\|ersten Ableitung]]'' in der [[Analysis]]. Werden die Grenzen des Intervalls, in welchem gerechnet wird, eingesetzt, so wird aus dem ''unbestimmten Integral'' (nur Stammfunktion) das ''bestimmte Integral'' (Stammfunktion mit Integrationsgrenzen) und man erhält einen konkreten Zahlenwert als Lösung. Die Integralrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis. Zum Beispiel kann mit Hilfe des Integrals die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) und der x-Achse als Abzisse berechnet werden, wobei diese Fläche nach links und rechts die Integrationsgrenzen als Anfang und Ende hat.		Das '''Integral''' ordnet einer [[Funktion (Mathematik)]] eine sogenannte ''Stammfunktion'' zu. Es ist die Umkehrung der ''[[erste Ableitung\|ersten Ableitung]]'' in der [[Analysis]]. Werden die Grenzen des Intervalls, in welchem gerechnet wird, eingesetzt, so wird aus dem ''unbestimmten Integral'' (nur Stammfunktion) das ''bestimmte Integral'' (Stammfunktion mit Integrationsgrenzen) und man erhält einen konkreten Zahlenwert als Lösung. Die Integralrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis. Zum Beispiel kann mit Hilfe des Integrals die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) und der x-Achse als Abzisse berechnet werden, wobei diese Fläche nach links und rechts die Integrationsgrenzen als Anfang und Ende hat.

Fmrauch: /* Bestimmtes Integral */

2024-10-11T20:50:53Z

Bestimmtes Integral

← Nächstältere Version		Version vom 11. Oktober 2024, 20:50 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:

	Die Variable würde gemäß F(b) - F(a) = (1/3 x<sub>b</sub><sup>3</sup> + c) - (1/3 x<sub>a</sub><sup>3</sup> + c) nach Auflösung der Klammern wegfallen.		Die Variable würde gemäß F(b) - F(a) = (1/3 x<sub>b</sub><sup>3</sup> + c) - (1/3 x<sub>a</sub><sup>3</sup> + c) nach Auflösung der Klammern wegfallen.

			Zu beachten ist dabei, dass Flächen negativ sind, wenn der Graph unterhalb der x-Achse verläuft.

	== Beispiele ==		== Beispiele ==

Fmrauch: der Graph kann auch unter der x-Achse verlaufen

2024-10-11T20:49:39Z

der Graph kann auch unter der x-Achse verlaufen

← Nächstältere Version		Version vom 11. Oktober 2024, 20:49 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:

	[[Datei:Mathematischer Aufstieg zum Integral.jpg\|thumb\|300px\|right\|Mathematischer Aufstieg zum Integral]]		[[Datei:Mathematischer Aufstieg zum Integral.jpg\|thumb\|300px\|right\|Mathematischer Aufstieg zum Integral]]
	Das '''Integral''' ordnet einer [[Funktion (Mathematik)]] eine sogenannte ''Stammfunktion'' zu. Es ist die Umkehrung der ''[[erste Ableitung\|ersten Ableitung]]'' in der [[Analysis]]. Werden die Grenzen des Intervalls, in welchem gerechnet wird, eingesetzt, so wird aus dem ''unbestimmten Integral'' (nur Stammfunktion) das ''bestimmte Integral'' (Stammfunktion mit Integrationsgrenzen) und man erhält einen konkreten Zahlenwert als Lösung. Die Integralrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis. Zum Beispiel kann mit Hilfe des Integrals die Fläche ~~unter~~ dem Graphen der Funktion f(x) und der x-Achse als Abzisse berechnet werden, wobei diese Fläche nach links und rechts die Integrationsgrenzen als Anfang und Ende hat.		Das '''Integral''' ordnet einer [[Funktion (Mathematik)]] eine sogenannte ''Stammfunktion'' zu. Es ist die Umkehrung der ''[[erste Ableitung\|ersten Ableitung]]'' in der [[Analysis]]. Werden die Grenzen des Intervalls, in welchem gerechnet wird, eingesetzt, so wird aus dem ''unbestimmten Integral'' (nur Stammfunktion) das ''bestimmte Integral'' (Stammfunktion mit Integrationsgrenzen) und man erhält einen konkreten Zahlenwert als Lösung. Die Integralrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis. Zum Beispiel kann mit Hilfe des Integrals die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) und der x-Achse als Abzisse berechnet werden, wobei diese Fläche nach links und rechts die Integrationsgrenzen als Anfang und Ende hat.

	== Unbestimmtes Integral ==		== Unbestimmtes Integral ==

Fmrauch: Erklärung zu der Variablen

2024-10-11T20:48:23Z

Erklärung zu der Variablen

← Nächstältere Version		Version vom 11. Oktober 2024, 20:48 Uhr
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	\|}		\|}

	So ergibt sich für eine [[Parabel]] mit der Standard-Gleichung f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c das Integral F(x) = 1/3 x³ + ~~bx²~~/2 + cx + d. Es kommt also eine neue Variable ''d'' hinzu.		So ergibt sich für eine [[Parabel]] mit der Standard-Gleichung f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c das Integral F(x) = 1/3 x<sup>3</sup> + bx<sup>2</sup>/2 + cx + d. Es kommt also eine neue Variable ''d'' hinzu.

	== Bestimmtes Integral ==		== Bestimmtes Integral ==
Zeile 21:		Zeile 21:
	\|[[Datei:Bestimmtes Integral Berechnung.png\|300px\|left]]		\|[[Datei:Bestimmtes Integral Berechnung.png\|300px\|left]]
	\|-		\|-
	\|Im Fall einer Parabel ergibt sich konkret die Fläche zwischen x=0 und x=1 wie folgt:		\|Im Fall einer Parabel ergibt sich aus der Standard-Gleichung f(x) = x<sup>2</sup> das Integral F(x) = 1/3 x<sup>3</sup> + c konkret die Fläche zwischen x=0 und x=1 wie folgt:
	\|-		\|-
	\|[[Datei:Bestimmtes Integral Quadratfunktion.jpg\|300px\|left]]		\|[[Datei:Bestimmtes Integral Quadratfunktion.jpg\|300px\|left]]
	\|}		\|}

			Die Variable würde gemäß F(b) - F(a) = (1/3 x<sub>b</sub><sup>3</sup> + c) - (1/3 x<sub>a</sub><sup>3</sup> + c) nach Auflösung der Klammern wegfallen.

	== Beispiele ==		== Beispiele ==

Fmrauch: /* Bestimmtes Integral */

2024-10-11T20:40:01Z

Bestimmtes Integral

← Nächstältere Version		Version vom 11. Oktober 2024, 20:40 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	\|[[Datei:Bestimmtes Integral Berechnung.png\|300px\|left]]		\|[[Datei:Bestimmtes Integral Berechnung.png\|300px\|left]]
	\|-		\|-
	\|Im Fall einer Parabel ergibt sich konkret die Fläche zwischen x=0 und x=1:		\|Im Fall einer Parabel ergibt sich konkret die Fläche zwischen x=0 und x=1 wie folgt:
	\|-		\|-
	\|[[Datei:Bestimmtes Integral Quadratfunktion.jpg\|300px\|left]]		\|[[Datei:Bestimmtes Integral Quadratfunktion.jpg\|300px\|left]]

Fmrauch: /* Bestimmtes Integral */

2024-10-11T20:39:14Z

Bestimmtes Integral

← Nächstältere Version		Version vom 11. Oktober 2024, 20:39 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	\|[[Datei:Bestimmtes Integral Berechnung.png\|300px\|left]]		\|[[Datei:Bestimmtes Integral Berechnung.png\|300px\|left]]
	\|-		\|-
	\|~~In diesem Falle~~ konkret ~~also~~:		\|Im Fall einer Parabel ergibt sich konkret die Fläche zwischen x=0 und x=1:
	\|-		\|-
	\|[[Datei:Bestimmtes Integral Quadratfunktion.jpg\|300px\|left]]		\|[[Datei:Bestimmtes Integral Quadratfunktion.jpg\|300px\|left]]

Fmrauch: /* Bestimmtes Integral */ etwas unglücklich, wenn a hier in einem anderen Sinne verwendet wird wie zuvor

2024-10-11T20:36:25Z

Bestimmtes Integral: etwas unglücklich, wenn a hier in einem anderen Sinne verwendet wird wie zuvor

← Nächstältere Version		Version vom 11. Oktober 2024, 20:36 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	== Bestimmtes Integral ==		== Bestimmtes Integral ==

	Wenn man also die Fläche ~~zwischen den linken und rechten Grenzen x=a und x=b~~ berechnen will, bestimmt man die ~~Stammfunktion~~ und setzt ~~danach~~ die Werte für "a" und "b" in die ~~Stammfunktion~~ ein und zieht diese voneinander ab:		Wenn man also die Fläche berechnen will, bestimmt man zunächst die linke (hier ''a'' genannt) und rechte Grenze (''b''). Danach setzt man die Werte für "a" und "b" in die Stammfunktionen ein und zieht diese voneinander ab:
	{\|		{\|
	\|[[Datei:Bestimmtes Integral Berechnung.png\|300px\|left]]		\|[[Datei:Bestimmtes Integral Berechnung.png\|300px\|left]]

Fmrauch: /* Unbestimmtes Integral */ in der Realität ist das etwas komplizierter

2024-10-11T20:31:51Z

Unbestimmtes Integral: in der Realität ist das etwas komplizierter

← Nächstältere Version		Version vom 11. Oktober 2024, 20:31 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	\|[[Datei:Stammfunktion aus Quadratfunktion.jpg\|400px\|left]]		\|[[Datei:Stammfunktion aus Quadratfunktion.jpg\|400px\|left]]
	\|}		\|}

			So ergibt sich für eine [[Parabel]] mit der Standard-Gleichung f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c das Integral F(x) = 1/3 x³ + bx²/2 + cx + d. Es kommt also eine neue Variable ''d'' hinzu.

	== Bestimmtes Integral ==		== Bestimmtes Integral ==