Berechnung der Deskriptiven Statistik

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Die Berechnung der deskriptiven Statistik verwendet oft komplizierte mathematische Formeln. Als Hilfe zum Verständnis können zum Beispiel Tabellen mit dem Computer entwickelt werden.

Merkmale

Merkmale sind quantitativ oder kategorial

Quantitative Merkmale beschreiben Eigenschaften oder Verhalten in Form einer Mengenangabe, wie z.B. die Körpergröße (Eigenschaft) oder die Zeit welche die Individuen für eine bestimmte Aufgabe benötigen (Verhalten). Quantitative Merkmale unterscheiden sich mehr oder weniger, sie sind kontinuierlich. Die quantitativen Merkmale werden im Folgenden als Variable bezeichnet. Die Ausprägungen der quantitativen Merkmale sind die 'Variablenwerte' .

Kategoriale Merkmale qualifizieren Individuen oder Situationen, sie unterscheiden sich ganz oder gar nicht. Das kategoriale Merkmal wird als Faktor bezeichnet. Die Ausprägungen des Faktors sind die Kategorien. Ein Faktor ist z.B. das Geschlecht (=Kategorien der Individuen) oder die Jahreszeit, während der die Messung durchgeführt wurde (=Kategorien der Situation).

Die Statistik prüft entweder zwei quantitative Merkmale auf Zusammenhang oder ein quantitatives und ein kategoriales Merkmal. Um den Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen überprüfen zu können, müssen die Werte der Merkmale mehrerer Individuen in die Berechnung einfließen. Entsprechend müssen pro Individuum entweder zwei quantitative Merkmale oder ein quantitatives und ein qualitatives Merkmal erfasst werden.

Daten

Die Daten werden für die statistische Berechnung tabellarisch aufgelistet und können zum Beispiel mit einer Software wie SPSS oder auch den Kalkulationsprogrammen Calc oder Excel verarbeitet werden. Die anschließenden Leerzeilen in den Kalkulationsprogrammen bieten Platz für Forschungsfragen und Notizen.

Die Tabellenzeilen enthalten die gemessenen Werte. Die Spalten enthalten die Variablen. Für jede Spalte können Mittelwerte und weitere Kenngrößen berechnet werden.

Normierung

Die Normierung berechnet Kennzahlen, wodurch unterschiedlichste Mengen- bzw. Maßeinheiten vergleichbar werden. Der Mittelwert wird zum Ursprung und die Varianz wird zur Maßeinheit. Dieser Vorgang wird auch als Standardisierung bezeichnet. Bei der Normierung werden alle Zeilen einer Tabelle einbezogen, also alle Variablenwerte der gleichen Variablen und der gleichen Kategorie.

Daten der Normierung:

• Anzahl = Anzahl der Variablenwerte
• Mittelwert (MW) = Summe aller Variablenwerte (VW), geteilt durch deren Anzahl
• Abweichung (Abw) = Variablenwert minus Mittelwert
• quadrierte Abweichung (Abw²) = Quadrat der Abweichung
• Varianz (V) = Mittelwert der quadrierten Abweichung
• Standardabweichung (StA) = Wurzel aus der Varianz
• standardisierte Abweichung (z-Wert) = Abweichung geteilt durch Standardabweichung (Abw / StA)

Kovarianzanalyse

Mit der Kovarianzanalyse wird geprüft ob es zwischen 2 quantitativen Merkmalen einen Zusammenhang gibt oder anders ausgedrückt, ob 2 Merkmale miteinander korrelieren. Pro Individuum müssen 2 Variablenwerte von zwei verschiedenen Variablen vorliegen. Mit verschiedenen Variablen kann auch gemeint sein, dass die gleiche Variable unter zwei verschiedenen Bedingungen gemessen wurde oder die eine Variable bezieht sich auf den Ausgangswert der Variablen, während die zweite Variable die Veränderung wiedergibt. Eine eventuell eingetragene Kategorie wird entweder ignoriert oder die Kovarianz wird für jede Kategorie separat berechnet. Welcher Weg gewählt wird, hängt von der Forschungsfrage ab. Es ist meist informativ, beide Varianten zu berechnen.

Für jede Variable werden die Daten in das Formular 1 (blau unterlegt) eingetragen und die Normierung (grün unterlegt) durchgeführt. Die Kovarianzanalyse wird mit Formular 2 (rot unterlegt) berechnet. Die eine Variable wird mit x bezeichnet, die zweite mit y. Die Buchstaben werden vor die jeweilige Bezeichnung gestellt. Von der Kovarianz spricht man, wenn mit absoluten Werten (Abweichung) gerechnet wird, während die Korrelation mit den standardisierten Werten (z-Wert) rechnet. Das Ergebnis ist aber gleich. Spalte 1 von Formular 2 bezieht sich auf die Kovarianz, Spalte 2 auf die Korrelation. Die Daten werden wie folgt berechnet:

Kovarianz: Spalte 1

• Tabellenzeilen: xAbw * yAbw = Produkt der Abweichung pro Individuum
• Totalvarianz (tV) = Wurzel(xV * yV) = Wurzel aus dem Produkt der Varianz von Variable x und der Varianz von Variable y
• Kovarianz (Cov) = Mittelwert der Tabellenzeilen (xAbw * yAbw) = Mittelwert aus dem Produkt der Abweichungen = überlappende Fläche beider Merkmale
• Korrelationskoeffizient = Cov / tV = Kovarianz geteilt durch Totalvarianz

Korrelation: Spalte 2

• Tabellenzeilen: x_zWert * y_zWert = Produkt der standardisierten Abweichung
• Totalvarianz = 1 (= Totalvarianz geteilt durch Totalvarianz)
• Korrelationskoeffizient = Mittelwert der Tabellenzeilen (x_zWert * y_zWert)
• Kovarianz (Cov) = Totalvarianz mal Korrelationskoeffizient

Lineare Regression

Bei der Regression muss zwischen Prädiktor und Kriterium unterschieden werden. Die Variable x sei der Prädiktor und die Variable y das Kriterium. Ist der Variablenwert der Variablen x gegeben, kann der wahrscheinliche Wert der Variablen y ermittel werden.

• x = ein Variablenwert der Variablen x
• b = Regressionskoeffizient = Cov / xV = Kovarianz geteilt durch xVarianz
• a = Ordinatenabschnitt = yMW - xMW * b = Mittelwert der yVariablen minus Mittelwert der xVariablen mal Regressionskoeffizient
• y = b * x + a

Varianzanalyse

Die Varianzanalyse prüft, ob es einen Zusammenhang gibt zwischen einem quantitativen und einem kategorialen Merkmal. Pro Individuum wird das quantitative Merkmal (Variablenwert) und das kategoriale Merkmal (Kategorie) gemessen und die Variablenwerte gleicher Kategorie zu einer Tabelle zusammengefasst (Formular 1, blau unterlegt). Es werden so viele Tabellen erstellt, wie das kategoriale Merkmal Kategorien hat. Die Varianzanalyse kann sich stets nur auf eine Variable beziehen.

Der Vergleich auf Zusammenhang wird mit Formular 2 (braun unterlegt) durchgeführt. Die Normierung, wie sie auf der Ebene der Individuen pro Kategorie berechnet wurde, wird nun auf der Ebene der Kategorien durchgeführt. Die Kategorie entspricht dem Individuum und der Mittelwert der Kategorie entspricht dem Variablenwert.

• Spalte 3 = Kategorie
• Spalte 4 = Mittelwert der Kategorie
• Kopfzeile Mittelwert = Mittelwert von Spalte 4
• Spalte 5 = Abweichung = Spalte 4 minus Mittelwert
• Spalte 6 = Abweichung² = Quadrat der Abweichung
• Spalte 7 = Varianz innerhalb = Varianz pro Kategorie (aus Kopfdaten Formular 1 übernehmen)
• Spalte 8 = Varianz total = Summe aus Abweichung² (Spalte 6) und Varianz innerhalb (Spalte 8)

Kopfzeile Varianz:

Spalte zwischen = Varianz zwischen = Mittelwert Abweichung²

Spalte innerhalb = Varianz innerhalb = Mittelwert der Varianzen pro Kategorie

Spalte total = Varianz total = Mittelwert aus Abweichung² + Varianzen der Kategorien, die Summe der Kopfzeile "Varianz zwischen" und "Varianz innerhalb" ergibt den gleichen Wert.

Kopfzeile StAbw: Wurzel aus der Varianz, gilt für die Spalten innerhalb, zwischen und total

Kopfzeile r²:

Spalte zwischen: Varianz zwischen geteilt durch Varianz total

Spalte innerhalb: Varianz zwischen geteilt durch Varianz total

Spalte total: Varianz total geteilt durch Varianz total (ergibt natürlich 1, Totalvarianz wird mit 1 gleichgesetzt).

Kopfzeile r = Wurzel aus r², gilt für Spalten zwischen, innherhalb und total

Mehrfaktorielle Varianzanalyse

Eine Varianzanalyse kann auch mit mehreren Faktoren gerechnet werden. Jedem Variablenwert werden soviele kategoriale Merkmale zugeordnet, wie Faktoren erfasst wurden. Die Normierung wird sowohl mit jedem einzenen kategorialen Merkmal durchgeführt, als auch mit jeder Kombination der kategorialen Merkmale. Der Varianzanteil der einzelnen kategorialen Merkmale werden vom Varianzanteil der kombinierten Merkmale subtrahiert. Der restliche Varianzanteil quantifiziert die Interaktion der kategorialen Merkmale.

Beispiel

Aus der Liste österreichischer Komponisten klassischer Musik, der Liste österreichischer Autoren und der Liste der österreichischen Nobelpreisträger wurden Name, Geburtsdatum und Todesdatum mehrerer Berühmtheiten übernommen. Der Faktor "Berühmtheiten" ergibt sich in diesem Beispiel aus den drei Kategorien Komponist, Autor und Nobelpreisträger. Der Variablenwert ist das Lebensalter, das der Differenz aus Geburtsjahr und Todesjahr entspricht. Die Normierung wurde für die 3 Tabellen durchgeführt und mit den Ergebnissen die Varianzanalyse berechnet.

Seite 5, 6 und 7 enthalten die gleichen Individuen wie das Beispiel für die Varianzanalyse, jedoch als Variablenwert wird das Geburtsjahr übernommen. Für die 3 Tabellen wird die Normierung durchgeführt. Auf Seite 8, 9 und 10 wird für jede Kategorie Geburtsjahr und Lebensalter korreliert.

Literatur

• Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6., vollständig überarbeitete und aktualisierte Auflage, Springer, Heidelberg 2005, ISBN 354021271X
• Peter Zöfel: Statistik verstehen. Addison-Wesley Verlag, München 2002. ISBN 3827316901

Andere Lexika

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• Löschdiskussion bei Wikipedia

Erster Autor: Wilhelm Valerie angelegt am 22.08.2011 um 14:38, weitere Autoren: Johnny Controletti, DelSarto, Losdedos