Sommersemester2010 Uni Frankfurt Mathe Analysis I Übung Blatt 6 Aufgabe 25

Frage

Betrachten Sie das regelmäßige n-Eck in der komplexen Ebene mit den n-ten Einheitswurzeln als Ecken.

Berechnen Sie den Umfang U_n

und zeigen Sie

U_n = 2 π (1 - (π²/6) ⋅ (1/n²) + O(n^-4)).

Anmerkungen

Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilaufgaben, einmal zu zeigen, wie die man bei gegebenem n-Eck den Umfang berechnen kann und dann die Formel beweisen.

Das Ergebnis des Umfangs für n → ∞ wird der Kreis sein.

O(n^-4) ein Bereich der Landau-Symbole.

Musterlösung

Teil 1

Der Umfang eines Kreises ist 2 π r. (r = 1 beim Einheitskreis) also 2 π

Ab n=3 (Dreieck) beginnt das reglmäßiges n-Eck im Punkt

z = a + bi 

mit b=0 und bei |z|=1 (Einheitskreis)

Die restlichen (n-1) Punkte liegen im selben Abstand voneinander entfernt. Somit wird der Winkel 2 π wird gleichmäßig durch die n-Ecken geteilt (n=3 -> 2 π / 3; n=4 -> 2 π / 4, …)

Diese Punkte werden mit dem Null-Punkt verbunden. Somit ist der Winkel bekannt (2 π / n) und die umschließendene Seiten sind bekannt (Länge = 1). Also ein Fall für den Cosinus-Satz:

c² = (a² + b² - 2⋅a⋅b⋅cos (γ)

von diesen c² gibt es n-Stück im n-Eck.

Also lautet die Formel für den Umfang:

U_n = √(1² + 1² - 2⋅1⋅1⋅cos(2 π / n)) ⋅ n = n ⋅ √(2-2⋅cos(2 π / n))

Teil 2

U_n = 2 π (1 - π²/6 ⋅ (1/n²) + O(n^-4)).

Wenn n → ∞ dann läuft (1/n²) → 0 also (π²/6) ⋅ (1/n²) → 0.
Wenn n → ∞ dann läuft O(n^-4))

somit:

U_n = 2 π (1 - 0 + 0) = 2 π.

Ob dies den zweiten Teil der Aufgabe erfüllt ist nicht klar.