Sommersemester2010 Uni Frankfurt Mathe Analysis I Übung Blatt 7 Aufgabe 27

Aufgabe

Es seine a₀, b₀ positive ganze Zahlen (a₀ > b₀). Wir definierne

• a_n+1 = 1/2(a_n + b_n,
• b _n+1 = √(a_n ⋅ b_n

Zeigen Sie durch vollständige Induktion), dass beide Folgen monoton sind und gegen denselben Grenzwert konvergieren. (Man nennt den Grenzwert das arithmetische-geometrische Mittel des Zahlenpaars a₀, b₀)

Hinweise

Teilschritte

Diese Aufgabe besteht aus mehreren Teilschritten.

da a₀ > b₀ ist sollen wir zeigen, dass

1. a₀ monoton fallend ist und
2. b₀ monoton steigend ist und
3. a_n = b_n für n → ∞

Hilfen

1/2 (a+b) > √(a⋅b)

Satz von Bolzano-Weierstraß:  
an ist Folge
an ist Monoton
an ist beschränkt
⇒ dann konvergiert an

Musterlösung

Lösung zu 1 + 2

Behauptung:

• a_n+1 ≤ a_n
• b _n+1 ≥ b _n

Beweis:

• a_n+1 ≥ b_n+1

⇔ 1/2 (a_n + b_n) ≥ √(a_n ⋅ b_n) (Wegen Hilfestellung)

Lösung zu 3

a_n+1 = 1/2 (a_n + b_n) ≤ 1/2 (a_n + a_n) = a_n Das kann nur sein wenn a_n = b_n für n → ∞

Erklärung: Da a_n ≥ b _n ist kann man im zweiten a+b das b durch a ersetzen. da a_n für n → ∞ monton fallend ist und gegen einen Wert konvergiert ist dieser Wert wohl 1/2 (a_n + a_n) ?

• b _n+1 = √(a_n ⋅ b_n) ≥ √(b_n ⋅ b_n) = b_n)

aus dem gesagten folgt b₀ ≤ b_n ≤ a_n ≤ a₀

lim a_n = a < ∞ (n → ∞)

lim b_n+1 = b = √(a⋅b) (n → ∞)

= √(lim a_n+1 ⋅ lim b_n+1 ) (n → ∞)

= lim √(a_n+1 ⋅ b_n+1) (n → ∞)

= √(a ⋅ b)

⇒ a=b