Sommersemester2010 Uni Frankfurt Mathe Analysis I Stunde 1

Dies ist die Zusammenfassung der Vorlesung Analysis I vom 13.04.2010.

Ziele Der Mathematik

Laut Hamilton:

• Flüssigkeit der Operationen (Flutschen)
• Symmetrie des Ausdrucks (Formeln, didaktischer Wert;) Tipp: "Erfinden Sie neue Notationen"
• Klarheit der Gedanken

Wichtige mathematische Gesetze

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz behandelt die Rechenvorschriften zum Auflösen von Klammern:

Defintionen:

a * (b+c)=a*b + a*c

und

(a+b) * c = a*c + b*c

und

(a-b)*(c-d) = a*c - a*d - b*c + b*d

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz besagt, dass die Reihenfolge, der Durchführung für das Ergebnis unerheblich ist.

Defintion:

(a + b) + c = a + (b + c)

Dies gilt ebenso für die Multiplikation:

(a * b) * c = a * (b * c)

Nicht jedoch für die Subtraktion:

 (a - b) - c ≠ a - (b - c)

Ebenso nicht für die Division

 (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c)

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz besagt, dass auch bei vertauschten Werten, die Operation zum selben Ergebnis führen:

Definition:

a+b = b+a 

und auch

a*b = b*a 

nicht jedoch:

a-b ≠ b-a 

und auch

a÷b ≠ b÷a  

Zahlenbereiche

Es gilt:

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ

⊆ steht dabei für "ist Teilmenge von"

• ℕ = {1,2,3 ….} steht für die natürlichen Zahlen ohne die 0
• ℕ₀ = {0, 1,2,3 ….} steht für die natürlichen Zahlen inklusive der 0
• ℤ₊ = {0, 1,2,3 ….} steht ebenso für die natürlichen Zahlen inklusive der 0
• ℤ = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ....} steht für die ganzen Zahlen (inklusive der 0)
• ℚ = steht für die Rationalen Zahlen, das heißt für Alle Brüche (Form "p/q" wobei q ≠ 0)
• ℝ = steht für die Reellen Zahlen, das heißt auch für die Zahlen, die sich nicht als Bruch schreiben lassen. Beispielsweise √2 oder π
• ℂ = steht für die 'Komplexen Zahlen. Beispielsweise √-1

Herleiten der ganzen Zahlen

Die ganzen Zahlen lassen sich herleiten als Spiegelung an der Nullachse; Somit gilt

ℕ ⊆ ℤ

Minus mal Minus ist Plus

Aufgrund verschiedener Betrachtungsweisen kommt man zum Ergebnis, dass es eigentlich gar nicht anders sein kann, als dass "Minus mal Minus Plus" ergibt.

Rationale Zahlen

Grundgesetze der Verknüpfungen

ℤ ⊆ ℚ

Alle ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der Rationalen Zahlen - der Brüche.

Das sind somit alle Zahlen die mit zwei ganzen Zahlen als Bruch darstellbar sind.

In diesen Bereich fällt

• das „Bruchrechnen“
• die Teilbarkeit
• ggT ([Größter Gemeinsamer Teiler])
• kgV;([Kleinstes gemeinsames Vielfaches])
• der Hauptnenner
• Euklidischer Algorithmus (Teilen mit Rest)

Beispiel:

110 = 15 * 7 + 5;
ist dasselbe wie 110÷15 = 7 Rest 5;
ist dasselbe wie 110÷15 = 105÷15 + 5÷15 = 7 + 5÷15;

• Gemeinsames Maß – bei den alten Griechen.

ggT(r₀, r₁) r₀, r₁ ∈ ℕ (∈ steht für "ist Element von")

r₀ = m₁*r₁ + r₂; r₂<r₁ ()

Beispiel:

ggT(110,15)

115 = m₁ * 15 + r₂; r₂ < 15;

r₁ = m₂ * r₂ + r₃; r₃<r₂

⁝⁝⁝

r_k-2 = mk_-1 * r_k-1 + r_n (Unklar)

r_k-1 = m_k * r_k + 0

r_k = ggT

Reele Zahlen

ℚ ⊆ ℝ

Die alten Griechen stellten fest:

Arithmetik und Geometrie passen nicht zusammen.

(Zahlenstrahl)

Die Analysis ist die Schnittstelle ℚ ⊆ ℝ

Beispiel:

y = x²-2

0 = x² -2

2 = x²

x=√2

Geht nicht in auf in ℚ

Vervollständigung

Supremum ist die Schranke einer Zahlenmenge (kleinste obere Schranke). Ist das Supremum unendlich, so gibt es keine obere Schranke. (Beispiel: y=x) Sup {x : x²<2} = √2 - Die Werte nähren sich mehr und mehr der Wurzel Zwei, ohne sie zu erreichen wenn x ∈ ℚ (x ist Element rationale Zahlen)

sup {x: x ∈ ℚ x²<2}

Infimum: inf (A ∈ ℝ) größte Untere Schranke

sup A = a ∈ ℝ inf A = b ∈ ℝ

Vervollständigung eines metrischen Raumes

Axiomatisch –

Definiton: Die Mathematik braucht ein Grundgerüst, das nicht naturgegeben ist.

• Anthroposophen
• Euklidische Geometrie. Definition der Geraden und der Fläche.

Mengenlehre:
Vor 100 Jahren wurde die Mengelehre von Georg Cantor in den Jahren 1874–1897 begründet.

Definition Wohlbestimmt: Wohlbestimmt sind vermutlich nur die Zahlen. Ist ein Stück Kreide eine halbe Stunde später noch immer dieselbe Kreide?

Daraus folgt: Im Hinblick auf bestimmte Bedingungen ist etwas dasselbe. (Wohlunterschieden)

ℚ wird vervollständigt zu ℝ.

Jeden metrischen Raum kann man vervollständigen in einer kanonischen (nicht willkürlichen) Weise.

Zahlenbereiche: Weitere Rechengrößen.

Man kann nicht nur mit Zahlen rechnen, sondern auch mit

• Symbolen
• Polynomen
• Vektoren (Matrizen)
• System der Teilmengen einer Grundmenge
• Mengen (Durchschnitt, Vereinigung, Komplementär)

Algebraische Strukturen

• Vektor ist eine Verschiebung (Pfeilklasse)
• Vektor ist ein Element eines Vektorraums.
• Element ist ein Element einer Menge.
• Vektorräume, Körper, Gruppe, Ring.
• Laut Gauss C Punkte

Irrationale Zahlen

z = a + ib

w = c + id

z+w = (a+c) + i(b+d)

z*w = (a+ib)* (c+id)

= a*c + ib*c + a*id + ib*id

= a*c + ib*c + a*id + (-1 * b * d)

= a*c + (-1 * b * d)+ ib*c + a*id

= (a*c – b*d) + i(bc + ad)

Dabei gilt: i²= -1

Weitere Themen

ℳa = z → a*z

Drehstreckung

e^{i φ} (e hoch i mal phi)

cos φ + sin φ

φ=π/3

cos(π/2)^² = ½

sin (π/3) = ½ √3

Sinus und Cosinus gibt es auch für komplexe Zahlen.