Sommersemester2010 Uni Frankfurt Mathe Analysis I Stunde 3 2010 04 20

Dies ist die Zusammenfassung der Vorlesung Analysis I vom 20.04.2010.

Die heutige Vorlesung beschäftigte sich mit geometrischem, analytischem und algebraischem zu ℂ.

Geometrisches, Analytisches und Algebraisches zu ℂ

Eine komplexe Zahl wird wie folgt geschrieben:

a + ib wobei a, b ∈ ℝ und folgende Operationen sind definiert: ( ℂ = , 0,1,i, *, +, ÷)

• = (Gleichheitsrelation)
• 0,1,i (Ausgezeichnete Elemente)
• * (Multiplikation)
• + (Addtion)
• - (Subtraktion)
• ÷ (Division)

Stichwort: einstellige Operationen, zweistellige Operationen (teilweise wird auch von Nullstelligen gesprochen)

(Anmerkung: Der folgende Abschnitt ist nicht verlässlich)

Z^a = Ź = a – ib (Ź steht für Z quer - über dem Z sollte ein Querstrich stehen - Mangels fehlender Zeichen behelfe ich mich vorläufig mit Ź)

man ordnet einem z → (zuordnen) z Quer (Ź) zu

Dreistellige Relation (a,b,c) a+b=c

|z| (Z absolut) (Betrag)

= √(a²+b²) = √ (z * Ź) (Ź = z mit Querstrich drüber)

Komplexe Zahlen

ℂ

z ∈ ℂ

a+ib = z (rechts oben)

Skizze: (Hier wäre ein richtiges Schaubild sinnvoll:)

|b

|___/ (a + ib =z)

|__/

____|/φ)__a_______________φ

|

|

|

(Statt x und y wird die 'x-Achse' mit φ (phi) gekennzeichnet.)

Exkurs Komplexe Zahlen und Trigonometrie (enthält eventuell Fehler)

Komplexe Zahlen enthalten einen reelen Anteil (a) und einen imaginären (ib), wobei i=√-1 ist und b eine reele Zahl ist.

Wird eine Komplexe Zahl in ein Koordinatensystem eingezeichnet, so könnte man beim Nullpunkt beginnen und a entspricht dem x-Wert und b dem y-Wert. Der Anteil a wird somit auf der Achse horizontal eingezeichnet. Der Anteil b wird vertikal eingezeichnet.

Es ergibt sich nun zur x-Achse der Winkel φ (phi).

Die x-Achse wird "geschnitten" an der Stelle a. Hier entsteht ein rechter Winkel. Somit misst die Strecke c vom Nullpunkt bis zum Punkt z (= a + ib) √(a²+b²) (oder Klassischer Pythagoras a²+b²=c²)

Ist c = 1 dann ist auch c²=1 dann spricht man vom Einheitskreis.

• Ist der Winkel φ = 0 (≙ 0°) so ist der cos(0) = 1 und sin (0) = 0 (X-Achse wird bei 1 geschnitten)
• Ist der Winkel φ = π/6 (≙ 30°) so ist der cos (π/6) = √(1-½²)≈ 0,866 und sin (π/6) = 0,5 ; dies bedeutet bei diesem Winkel ist a=0,866 und b=0,5
• Ist der Winkel φ = π/4 (≙ 45°) so ist der cos (π/4) = √(½) und ebenfalls sin (π/4) = √(½) ≈ 0,7071; dies bedeutet bei diesem Winkel ist a=0,7071 und b=0,7071
• Ist der Winkel φ = π/3 (≙ 60°) so ist der cos (π/3) = 0,5 und sin (π/3) = √(1-½²)≈ 0,866; dies bedeutet bei diesem Winkel ist a=0,5 und b=0,866
• Ist der Winkel φ = π/2 (≙ 90°) so ist der cos (π/2) = 0 und sin (π/2) = 1; dies bedeutet bei diesem Winkel ist b=1 und a=0; Die Y-Achse wird also bei 1 geschnitten.

Mit diesen Schritten wurde 1/4 Kreis beschrieben.

Daraus folgt (bei c=1): cos(φ) = a; sin(φ) = b;

Ist der Radius nun ≠ 1, so ist der ermittelte Wert mit dem Radius zu multipilizieren; (2 * cos(φ) oder

Da 360° = 2π sind, entspricht 1° in etwa 0,017453 (2π/360); 
30° sind somit 30 * 2π / 360 = π/6

tan φ = b/a (Gegenkathete zu Ankathete) = b/a = sin(φ) / cos(φ)

tan π = 0 denn (sin π = 0) (0/1)

tan 0 = 0 (denn sin 0 = 0) (0/1)

tan π/2 = ∞ (denn cos(π)=0) (sin/cos)

tan π/4 = 1

Konjugation

(Anmerkung: Der folgende Abschnitt ist zu verifizieren)

z = a + ib (Quadrant rechts oben Positiv x ist postiv y ist negativ)

Es existieren folgende Spiegelungen:

Ź = a - ib (Z Quer - Quadrant Rechts unten - x ist positiv y ist negativ)

-Ź = -a + ib (- Z Quer - Quadrant links oben - y ist postiiv - x ist negativ)

-z = -a - ib (-z links unten - y ist negativ - x ist negativ)

Spiegelung wird die Komplexe Konjugation genannt

Für beliebige Längen r gilt:

z = r * (cos φ + i sin φ)

Grafik

φ ist reelle Achse

• Graph Sinus
• Graph Cosinus

Definition von 0 – 2pi (analog zu -2pi)

π: Sin (π) = 0; cos (π) = -1

Im Einheitskreis gilt: a² + b² = 1

Es existiert φ ∈ ℝ / 2 pi : a = cos (φ) ; b = sin (φ)

Das Intervall wiederholt sich in ℝ modulo 2 Pi.

m,n ∈ ℤ (m und n sind Elemente ganze Zahlen)

m ≡ n (mod k) (m und n sind kongruent modulo k)

m ≡ n (m und n sind kongruent modulo k)

k

bedeutet

k|(m-n) (k teil (m-n))

 Zwei Zahlen a und b sind kongruent modulo m, wenn m die Differenz a − b teilt.
 Zwei Zahlen a und b sind inkongruent modulo m, wenn m die Differenz a − b nicht teilt.

Die Menge der möglichen Zahlen:

ℤ / k – hat k Elemente Rest 0, Rest 1, Rest 2 … Rest k,

ℤ modulo k

ℝ  modulo 2 Pi  ist die Kreislinie

Abszissenachse(Kartesisches Koordinatensystem) – ist einfacher zu zeichnen als einen Kreis.

Es gibt keine eindeutige Lösung – sondern nur eine im Intervall 0-2pi oder (-2pi … 2pi ?)

r = |z| Absolutbetrag von z (?)

φ (phi) ist das Argument oder der Winkel

Für den Nullpunkt nicht definiert für den Rest ist es Modulo 2 Pi

Betrachten wir einen Einheitskreis, so gibt es zu einem Winkel φ (phi) und einem Winkel ψ (psi) die komplexen Zahlen z und w:

• z = cos φ + i sin φ (Realteil ist cos φ; (a))
• w = cos ψ + i sin ψ (ψ=psi neuer Buchstabe)
• z * w = (cos φ + i*sin φ) * (cos ψ + i sin ψ)
• = (cos φ * cos ψ - sin φ * sin ψ) * i(sin φ * cos ψ + cos φ * sin ψ) (Prüfen)

Additionstheoreme

• cos ( φ ± ψ) = cos φ * cos ψ ∓ (sin φ * sin ψ)
• sin (φ ± ψ) = sin φ * cos ψ ± sin ψ * cos φ

z * w = cos (φ + ψ) + i sin (φ+ ψ) (Prüfen)

Wenn z = a + i*b (a, b ∈ ℝ) dann ist a - i*b die (komplexe) konjugierte Zahl; sie wird mit ź (z Quer also mit Querstrich über dem z) oder z^* bezeichnet.

Die Abbildung z ↦ ź heißt die komplexe Konjugation (in ℂ).

|z| = √(a²+b²) = √(z*ź) ( |z| ist der Betrag der komplexen Zahl; |z| ist die Norm - Normbildung? )

Sätze - Wenn z und w komplexe Zahlen sind so gilt:

• (z+w)^* = (z)^* + (w)^* ((z+w) Quer)
• (z*w)^* = (z)^* * (w)^* ((z*w) Quer)
• |z+w| ≤ |z| + |w|
• |z*w| = |z| * |w|

(Das folgende sind nur noch Fragmente :-( )

• z = |z| * (cos ….)
• w = |w| * (cos
• z*w = |z| * |w| * (cos (φ + ψ) + ….)

Komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man ihre
* Beträge multipliziert
* Argumente addiert.

Es wurde eventuell noch die Regel (Komplexe Zahlen werden addiert ... erwähnt)

Hier gibt es noch eine allgemeinere Regel.

|z * w|= |z| * |w|

√(((z*w)*(z*w))^*) = √(z*(z)^*) * √(w*(w)^*)

Betrag vom Produkt ist der Betrag der  ???

Das Argument vom Produkt ist die Summe der Argumente. (?)

Polarkoordinaten Darstellung

φ ist der Winkel – r die Entfernung

z = |z| * e^{(i φ)} = |z| * (cos φ + i sin φ)

Eine der schönsten Formeln der Mathematik.

Später e^z

e = e ^(a+ib) = e ^a * e ^(ib)

e^(i*π)+1 = 0 (Was gut und teuer ist, kommt in dieser Form vor)

E

Wenn Kapital angelegt und nach einem Jahr mit p verzinst wird, so gilt: K₁=K₀ * (1+p/100);

Wenn wir nun p mit 100% Ansetzen so gilt:

K₁=K₀ * (1+100/100);

= K₁=K₀ * (1+1); (Das Kaptial verdoppelt sich nach einem Jahr)

Bei zwei Zinsterminen im Jahr und jeweils halbem Prozentsatz gilt:

K₁=K₀ * (1+(100/2)/100) * (1+(100/2)/100); (Das Kapital ver 2,25 facht sich)

= K₁=K₀ * (1+1/n)ⁿ; (Wobei n = Anzahl der Zinstermine)

Bei 12 Terminen wäre dies: K₁=K₀ * (1+1/12)¹²; Hier wäre es schon Faktor 2,61.

Nun wächst dieser Wert nicht ins Unendliche sondern vergiert gegen e (2,7182818284590452353602874713527...)

K ↦ K (1 + α) ↦ K(1+ α) ( 1+α)

• K(1+α/2)²
• K(1+α/2)⁴
• K(1+α/12)¹²
• K(1+α/360)³⁶⁰
• K(1+α/n)ⁿ

↗ (konvertiert aufsteigend) K = e ^ α

(1+α/n)ⁿ = ∑(n/k)*1 ^k (alpha/1)^ (????)

(a+b)ⁿ = ∑(n/k) a ^k * b ^(n-k) (???)

Pascalschen Dreieck (Zeichnung Pascalsichene Dreieck)

N über K

(n

k)  → n über k Notierung hier(n⁀k)

(Fragmente)

• n+1 n n
• k+1 = k-1 + k

Bionomische Formeln

• (a + b)²= a²+ 2ab + b²
• (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3 ab² + b³

• Allgemein:

(x+y)ⁿ =

n ∑ (n⁀k) * x ^n-k * y^k k=0

Noch aufzuarbeiten

2) Direkte Berechnung n = n! (k!(n-mk)1) = [n]_k / k!

n * (n-1)..(n-k) (Hier stehen k faktoren) /k!

(Vollständige Induktion) (Ausbauen!!)

3. Weg – Interpretation

Die Anzahl der k-Mengen in einer n-Menge ist n über k

Menge von 7 Elementen. Wieviele Paare davon kann man bilden= (2-Menge)

7 über 2

(Wähle 2 aus 7 aus)

7*6/2 (1. Paar)

Wieviele 3 Mengeninklusion7*6*5 / 1*2 * 3

n über k = n (n-1) …. / k'

3 Arten die Binominialkoeffizienten

4. Methode Die Koeffizienten (a+b)(a+b)(a+b) *(a+b) (nmal)

Stures ausmultiplizieren 2 ^n

= Summe (K₀ bis n) a^k * b^(n-k)

Auf wiviele Arten kann ich mein a besorgen

aus n-tupeln – muss man k mal das a auswählen aus einer n menge wählt man k ausgefüllt

(alpha über k) Newton hat diese Binominialreihen entdeckt Grenzpunkt der geometrischen Analysis

α ∈ R k ∈ ℕ₀

α (α – 1) … (α -k +1) / k! (???)

(-2 über k) – kann das enden?

(1+z)^alpha = Summe(k=0 bis unendlich) (alpha über k) * z hoch k

Zinssatz Fortsetzung:

= Summe (1/k' (a(n(n-1)..(n-k) alpha hoch k?!?

= Summe von K (1/k') (1-1/n)(1-2/n).(1-(k-1)/n)

n Pfeil Hoch pfeil Rechts Summe (k=0-unendlih) (1/k! Alph hoch k) = e^alpha

Definition: Exponentialreihe e hoch z = 1 + z + ½ z²+ 1/3 z^3 …. = Sume (k=0 bis uneldich(1/k!)z^k) e hoch A =

Exponetnialreihen gibt es in allen Schattierungen (Matrizen + imaginär)

e hoch (iphi) =1+ (iphi)+(1/... =1 – ½!phi ^2+ 1/4*phi hoch 4- 1/6 phi hoch 6 i(phi -1/3! phi hoch 3 + 1/5 phi hoh 5 – 1/7 phi hoch 7 …)

Reihendarstellung: Trigonometrische Funktion

cos z = 1 – z^2/2^2 + z^4 /

sin z = z-z hoch 3 /

Geometrische Darstellung am Einheitskreis

Analytische Funktion

Logarithmus

Sinusreihen nachschlagen

Funktionen werden durch analytische Darstellung berechnet (sinus / cosinus / logarithmisch / exponentiell)

Exponentiell Reihe, Cosinusreihe, Sinusreihe kennen …

1 + q + q² + q³ …. + q hoch n = (q hoch (n+1)-1) / (q-1)

1 + q + q ²+ …. q hoch n) (q-1)

  q + q² + …. + q hoch (n-1)

-1 -q-q2- … - q hoch n

= q hoch (n+1)-1

Summe (k=0-unendlich) = z^k 1 +z+z² + z³ …. = 1/(1-z) wenn |z| < 1

Unendliche geometrische Reihe

unschön wegen Begrenzung

(1 + i phi/n)^n

= e hoch (i * phi)

cos phi + i sin phi

Geometrische Darstellung

Argument von (1+ iphi/n)hohc n = n Argument von (1+iph n) etwa php

tan phi schlange klein n = 1 + i phi / n

phi schlange klein n ungefähr phi /n

phi schlange n = arctan phi /n

n phi schlange n = n arctan ph/n etwa phi

tan = sin / cos

tan x = sin (x) / cos(x)

periodisch pi

arcus tan (Umkehrfunktion)

-pi .. +pi

arctan y = ist dasjenige phi (-pi/2, pi/2) mit tagn phi = y

Zeichnung arctan.

Elementaren Funktion sin, cos, tan, arctan, arcsin, arccos, ln, sin von ln

Betrag (1+iphi/n)^n (Betrag 1 – winkel phi)

1 + iphi/n)^n koververgiert (→) e^phi = cos phi + i sin phi)

e hoch (i phi) = |z| (cos phi + i sin phi)

Exponentiell-Reihe

Komplexe Zahlen Polarkoordinaten

z = a+ib = |z| + e hoch i phi

e ^x * e ^y = e ^(x+y)

(„Funktionalgleichung der Exponentiell Funktional) Gilt auch für Komplexe Zahlenbereiche e^z * e ^w = e (z+w)

e^a * e^(ib) = e^(a+ib)

Beweis:

(naiv)

rechnen mit unendlichen Reihen geht so wie mit endlichen Reihen

Unendliche Reihen sind was anderes als Endliche.

1+z+z^2/2! + z^3/3! .. (1 + w + w^2 /2° i + w^3 / zklein i

a hoch k * b hoch (n-k) – polynom ist viel – hier mononom

= 1 + (zw+w)+1/2! * (z² + 2 z w + w²) + 1/3! *( z² + 3*z²w + 3zw² + w³) 1/(4!) 1/(2!) (z+w)² + 1/3 (z+w)^3 … → Exponentialreihe

Siehe auch

• Mitschrift als PDF
• Mitschrift als ODT (Open Office)
• Skripte