Sommersemester2010 Uni Frankfurt Mathe Analysis I Stunde 4 2010 04 27

Reziprozität einer Komplexen Zahl

• 1 / z mit z = (a + ib)
• 1/z = Ź / (z*Ź) (Erweiterung um Ź - wobei Ź = z Quer = (a-ib))
• 1/z = (a-ib) / ((a+ib)(a-ib))
• 1/z = (a-ib) / (a² + b²)

• z=e^iφ
• (1/z) = e^-iφ

Einheitskreis

In dieser Vorlesung wurde ein Einheitskreis (Seite 15 Analysis in Drei Zügen besprochen).

In einem Koordinatensystem (x/y) wird auf dem Einheitskreis die Komplexe Zahl C eingezeichnet. Reeller x-Wert = a; Reeler y-Wert = b; der Winkel wird φ (phi) genannt. Nun wird eine weitere Komplexe Zahl Q auf dem Einheitskreis eingezeichnet. Der Winkel der Strecke (0-C) und (0-Q) lautet ψ. Vom Q wird im Rechten Winkel die Strecke QB eingezeichent, wobei der Punkt B auf der Strecke (0-C) liegt und im rechten Winkel steht. Vom Punkt Q wird eine Strecke QR eingezeichnet, R liegt auf der x-Achse und steht im rechten Winkel. Auf der Strecke (QR) wird ein Punkt A bestimmt, der im Rechten Winkel den Punkt B verbindet. Der Winkel im Dreieck QAB beträgt ebenfalls φ. Dafür gibt es eine Regel. Der Punkt T liegt auf der x-Achse im Rechten Winkel zu C. Der Punkt S liegt im Rechten Winkel zum Punkt B auf der x-Achse.

Es gelten nun die Additionstheoreme:

• sin(φ + ψ) = sin φ * cosψ + cos φ * sin ψ
• cos(φ + ψ) = cos φ * cosψ - sin φ * sin ψ

e^{i(φ + ψ)} = e^iφ * e^iψ

cos ω (t-t₀) ist die reine Sinusschwingung mit max Amplitude a. Kreisfrequenz z (ω) und "Phase" t₀. Schwingungen sind ohne komplexe Zahlen nicht verständlich.
Frequenzen = 2 π ν (2 mal pi mal nü)

Beispiele

• cos t = 2 π (Eine Schwingung)
• cos t = π (Zwei Schwingungen)

Die Überlagerung reiner Sinunsschwingungen zur gleichen Kreisfrequenz liefert die reine Sinusschwingung zur reinen Kreisfrequenz.

Frage: mc Amplitude / Phase

Methode der Komplexen Amplitude:

• e^iφ = cos φ + i sin φ
• cos φ = * ℜe (e^iφ)
• cos φ = ½ (e^iφ + e^-iφ)
• sin φ = ½ (e^iφ - e^-iφ)

• ℜe (a₁ * e^iω(t-t₀)) (ℜe = Realteil)
• ℜe (a₂ * e^iω(t-t₀)) (ℜe = Realteil)

= ℜe (A₁ e^iωt + A₂ e^iωt) = ℜe ((A₁ + A₂) * e^iωt)

Absolutbetrag; Argumente (A₁ + A₂) maximale Amplitude (A₁ + A₂) ist der Phasenwinkel. (Beispiel von Verschiebungen von Zahlen).

Um Spin zu verstehen braucht man noch mehr als komplexe Zahlen.

Über ℂ hinaus

(Sieht aus wie Chinamaus) ;-)

|Z| = √(Z * Ź) (Der Betrag von Z ist die Wurzel aus (Z * Z Quer))

Ein Schrit über ℂ hinaus:

Eine kompele Zahl 2 x 2 Matrix ist ein Gebilde.

A= Matrix

• ( a b )
• ( c d ) a,b,c,d ∈ ℂ

B= Matrix

• ( α β )
• ( γ δ ) α, β, γ, δ ∈ ℂ

Die Addition der der beiden Matrizen A + B erfolgt elementenweise:

( a+α b+β )

( c+γ d+δ )

λ * A =

• ( λa λb )
• ( λc λd )

(λ = Lamda)

Komplexer Vektorraum

• ₭-Vektorraum
• ₭ = Körper ℝ/ℂ (?)
• (Das ₭ sollte wie folgt ausehn: "|K")

Bei Matrizen gilt das Assiziativgesetz.

Skalare Vektoren:

• λ( v + w ) = λv + λw
• (...)(λ + μ) ν
• (...) (λ * μ) ν (μ sollte mü sein)

Es ist kein Distributivgesetz aber so ähnlich. Beim Distriubitvgesetz handelt es sich um die gleiche Art.

1 * ν = ν

Vektor ist ein Element eines Vektroraums;

Es gibt:

• den Anschauungsraum
• den Einheitsvektor
• den zugehörigen Einheitsvektor

Bei komplexen Zahlen kommen mehrere Lösungen zustande. Normierter Vektorraum. Vektorraum hat kein Maß.

Matrizenmultiplikation

A x B

=

( aα+bγ aβ+bδ )

( cα+dγ cβ+dδ )

Konstruktion/Definition Produkt:

Wenn A eine IxJ Matrix und B eine JxK Matrix ist, so ist C = A * B wohldefiniert.

c_in=∑ (j,i) a_ij*b_ij

Zeichnerische Darstellung von eine Matrizenmultiplikation:

• J = Vektor (1 hoch 5 Breit)
• K = Vektor (5 hoch 5 Breit)
• I x K = Vektor (1 hoch 5 Breit)

Kartesisches Produkt

R/(2π) = R modulo 2

Für ein z ≠ 0 in ℂ ist das Argument einer wohldefinierten Zahl R/(2π) (???)

(A x B) x M = A x (B X M) Assoziativ (jedoch nicht kommutativ!!!)

A =

(0 0)

(0 0) = Neutrlaes Element Nullmatrix

E =

(1 0)

(0 1) Einheitselement

(a b) (1 0)

(c d) (0 1)

=

(a b)

(c d)

Weitere Stoff Determinatente, Reziprozität (reziprok), Inversion etc.