Sommersemester 2010 Uni Frankfurt Mathe Analysis I Übung Blatt 1 Aufgabe 3

Aufgabe

Wir betrachten für z ∈ ℂ die Funktion

F(z) = ½ ( z + 1/z)

a) Zeigen Sie, dass F(·) auf dem Einheitskreis {|z| = 1} reelle Werte hat. Gibt es noch weitere z, in welchen F(·) reelle Werte hat?

b) Wieviele Lösungen z hat die Gleichung F(z) = w, wenn w eine vorgegebene komplexe Zahl ist? (Fallunterscheidungen!) Gibt es eine Lösung z1 im Inneren des Einheitskreises? (|z₁|<1)

(Hinweis: Die Abbildung ℂ ∋ z ↦ w = ½ ( z + 1/z) ist sehr berühmt unter dem Namen Joukowski-Abbildung. Bilder dazu findet man z. B. im Internet.)

Anmerkungen

Komplexe Zahlen werden wie folgt beschrieben:

z = a + bi; 

Dabei ist a der reelle Anteil und b der imaginäre Anteil. i ist √(-1). Um mit Imaginären Zahlen im Kehrwert zu rechnen, empfiehlt es sich den Bruch mit der konjugiert komplexe Zahl zu erweitern:

z = a - bi; 

Lösungen

a)

Term	Operation
F(z) = ½ ( z + 1/z)	Zweiten Summanden erweitern um z
= ½ (z + z/(z ⋅ z) )	z=a + bi; z = a - bi
= ½ (z + z/((a+bi)(a-bi)))	(Bionomische Formel)
= ½ (z + z/(a²-b²i²))	i = √(-1) und i² = (-1)
= ½ (z + z/(a²+b²) )	(a² + b²) = 1 im Einheitskreis
= ½ (z + z/1 = z + z )	z = a+bi; z = a-bi;
= ½ (a + bi + a - bi) = ½ (2a) = a	a ist reell. ∎

Ja es gibt weitere z, in welchen F(·) reele Werte hat - wenn b gleich Null ist, dann wird die reelle Achse abgebildet und der imaginäre Wert ist 0.

b) ½ (a + bi + (a-bi) / (a² + b²)

= ½ ( a + (a / (a²+b²)) + ½ (b-b/(a²+b²)) i

• c ist der Linke Summand
• d ist der Rechte Summand

w = c + di

• c = ½ (a+a/(a²+b²))
• d = ½ (b-b/(a²+b²))