Sommersemester 2010 Uni Frankfurt Mathe Analysis I Übung Blatt 1 Aufgabe 4

Aufgabe

Berechnen Sie das Quadrat und die dritte Potezn von

z₀ = ½ ⋅ √3 + ½ ⋅ i = r ⋅ e^{iφ (Zeichnung)}

Was sind r und φ?

Anmerkungen

• (r ⋅ e^iφ)² = (r ⋅ e^2iφ)
• (r ⋅ e^iφ)³ = (r ⋅ e^3iφ)

Ob dies als Lösung akzeptiert wird ist jedoch unklar.

Musterlösung

• r ist Länge der komplexen Zahl vom Nullpunkt.
• φ ist der Winkel der Komplexen Zahl

Quadrat:

Term	Operation
z0² = (½ ⋅ √3 + ½ ⋅ i)² = ½²(√3 + i)² = ¼ (√3 + i)²	Bionomische Formel
= ¼ ((√3)² + 2(√3 + i) + (i)²)	(i)² = -1
= ¼ ((3 + 2⋅√3 + 2i) + (-1))	Umformen
= ¼ (3 -1 + 2⋅√3 + 2i) )
= ¼ (2 + 2⋅√3 + 2i)	2 nach vorne holen
2 ⋅ ¼ (1 + 1⋅√3 + 1i - ½)
½ (1 + √3 + i )	∎

3. Potenz: (Hier bin ich aber nicht sicher, ob hier ein Fehler steckt)

Term	Operation
z0³ = (½ ⋅ √3 + ½ ⋅ i)³ = ½³(√3 + i)³ = (1/8) (√3 + i)³	Bionomische Formel (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
= (1/8) ((√3)³ + 3(√3² ⋅ i) + 3(√3 ⋅ i²) + i³)	(i)² = -1
= (1/8) ((√3)³ + 3(√3² ⋅ i) + 3(√3 ⋅ (-1)) + i³)	√3² = 3
= (1/8) ((√3)³ + 3(3 ⋅ i) + 3(√3 ⋅ (-1)) + i³)	(√3)³ = (√3 ⋅ √3 ⋅ √3) = 3⋅√3
= (1/8) (3⋅√3 + 3(3 ⋅ i) + 3(√3 ⋅ (-1)) + i³)	i³ = i ⋅ i ⋅ i = -1 ⋅ i = -i
= (1/8) (3⋅√3 + 3(3 ⋅ i) + 3(√3 ⋅ (-1)) - i)	3(3 ⋅ i) = 9i
= (1/8) (3⋅√3 + 9i + 3(√3 ⋅ (-1)) - i)	3(√3 ⋅ (-1)) = -3√3
= (1/8) (3⋅√3 + 9i -3√3 - i)	Umformen
= (1/8) (3⋅√3 -3√3 + 9i - i)	3⋅√3 -3√3 = 0
= (1/8) (0 + 9i - i)	9i - i = 8i
= (1/8) (8i)
= i	∎

Zeichnung? - Zeichnen von Komplexen Zahlen.