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Sommersemester 2010 Uni Frankfurt Mathe Analysis I Übung Blatt 2 Aufgabe 9
Aufgabe
manche Einheitswurzeln kann man alleine mit der Kenntnissen über Lösung quadratischer Gleichungen finden. Studieren wir z. B. die fünfte Einheitswurzeln.
- Die Gleichung z5 - 1 = 0 hat 5 Lösungen w0, w1, w2, w3, w4 (Zeichnung!).
- Es gibt reele Zahlen a < A sodass gilt
- z5 - 1 = (z-1) (z4 + z3 + z2 + z1)
- = (z-1) (z2 + az + 1) (z2 + Az +1)
- Bestimmen Sie diese Zahlen a, A
- Sie gewinnen daraus die 5-ten Einheitswurzeln wj und die Zahlen
- cos (2π/5) = cos 72°
- sin (2π/5) = sin 72°
w1 = -(a/2) + i⋅√(1- (a²/4));
w2 = -(A/2) + i⋅√(1- (A²/4));
Zeigen Sie w2 = w1² und berechnen Sie w3 = w1³; w14 Für jedes der wk gilt wk5 = 1
- Zeigen Sie (Bild!)
- cos 72° = -(a/2) = 1/4 (√5-1);
- sin 72° = 1/4 (√(10+2√5));
- cos 36° = +(A/2) = 1/4 (√5+1);
- sin 36° = 1/4 (√(10-2√5));
(4 Punkte)