Sommersemester 2010 Uni Frankfurt Mathe Analysis I Stunde 4 2010 04 23

Dies ist die Zusammenfassung der Vorlesung Analysis I vom 23.04.2010.

Bisherige Themen

Assoziativ – Distributivgesetz – Kommutativgesetz

ℭ(ℭ(A)) = A -oder- ¬(¬A)=A -oder- Nicht(Nicht A) = A

Operatoren

• ℒ (L)
• (=)
• Ausgezeichnete Elemente: Õ (0 mit Tilde) Ĩ (1 mit Tilde)
• Einstelliger Operator: ¬ (nicht)
• Zweistelliger Operator: ∨ (oder), ∧ (und)

(=) bedeutet: "Denk an das gleichheitszeichen"

• ¬A ∧ A = Õ (Nicht A und A gibt es nicht) (Eine Mensch ist ein Mann und ist (gleichzeitig) KEIN Mann → Falsch)
• ¬A ∨ A = Ĩ (Nicht A oder A gilt immer) (Ein Mensch ist entweder ein Mann oder es ist KEIN Mann → Richtig - wenn kein Mann dann ist es eine Frau)
• ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ b (Betrachtet man die Aussage Eine Person ist "reich und schön" dann ist diese Aussage dann wahr, wenn eine Person beide Eigenschaften erfüllt. Ist ein Merkmal nicht erfüllt, wäre die Aussage falsch. Das Gegenteil der Aussage lautet NICHT "reich und schön" - Diese Aussage ist schon dann wahr, wenn eine Person "nicht reich" oder "nicht schön" ist.
• ¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ b (Betrachtet man die Aussage: "Frauen und Kinder zuerst"; Damit nun eine Person als erste gerettet wird wird geprüft, ob es sich um eine Frau oder ein Kind (Bis 18 Jahre) handelt. Die die zunächst zurückbleiben sind also NICHT (Frau oder Kind) also kann bei einem 35 jähriger Mann festgestellt werden: Du bist KEINE Frau UND du bist KEIN Kind - also nicht (Frau oder Kind))

¬ bindet stärker als als ∨ / ∧; ∨ und ∧ sind gleichwertig und benötigen Klammern.

Indikatorfunktion

¹A * ¹B = ¹(A ∧ B) ¹A + ¹B = ¹(a ∧ b) + ¹(A ∨ B) (Ist noch zu klären)

Boolescher Verband

Von einem Booleschen Verband spricht man, wenn assoziativ, distributiv und kommutativ gilt.

Ẩ = (Altdeutsches A) ℬ = (Altdeutsches B) ₡ = (Altdeutsches C)

ℬ = Boolean ?!?

Ein System kompelxer Zahlen – verschiedene Boolische Systeme.

• Distributiver komplementärer Verband mit größten und kleinsten Elementen
• Verband = lattice (Kunstwort)
• Beispiel: Grundmenge Ω (Omega - Das ist die Ausgangsmenge an Werten von denen Abbildungen erstellt werden - bei f(x) ist die Grundmenge Ω jedes mögliche x)
• ℬ = ₱ (Ω) (Altdeutsches P = Potzenzmenge = das System aller Teilmengen von Ω)

• A = { ω ∈ A } (ω liegt in A) (abstrakt - Aussage)
• ¬A = {ω ∉ A} = (ω ist kein Element von A; liegt also nicht in A)

Es genügt eine ordentliche Menge von Teilmengen von Ω?

Def: Ein System Ẩ (altdeutsches A) von Teilmengen einer Grundmenge Ω (Omega) heißt eine Mengenalgebra über Ω (Omega) wenn gilt:

1. ) Ẩ ≠ ∅
2. ) A, B ∈ Ẩ ⇒ A ∪ B ∈ Ẩ

Leere Menge gehört zur Menge Ẩ (altdeutsches A) ; ω ∈ Ẩ

1. ) A,B ∈ Ẩ ⇒ A\B ∈ Ẩ

(Dies ist zu Verifizieren)

Sigma-Algebra (σ-Algebra)

σ-Algebra wenn zusätzlich A₁ ∈ von A2 Teilmenge … ∈ Ẩ (deutsches A) ⇒ U A klein n Element deutsch A

1. ) Ω ∈ Ẩ (Die Grundmenge Omega ist in Altdeutsch A enthalten)
2. ) A ∈ Ẩ ⇒ ℭ(A) ∈ Ẩ (Wenn Ẩ eine Teilmenge A von Omega enthält, dann auch deren Komplement ℭ(A) = Ω\A)
3. ) A₁, A₂, .... ∈ Ẩ ⇒ ∪ (A_n) mit n ∈ Ẩ (Wenn für jede natürliche Zahl n die Menge A_n in Ẩ ist, so ist auch die abzählbare Vereinigung aller A_n in Ẩ)

ℭ(A ∩ B) = ℭA ∪ ℭB

Bei endlichen Mengen wird die die σ-Algebra nicht benötigt. Bei unendlichen Mengen ist die σ-Algebra wichtig und schöner.

Partitionen

σ-Vollständiger Boolescher Verband

∞ ∀ A_n – Es Existiert ein n: A_n

∞

¬(∀) = nicht (Es existiert A _n NICHT) – Es gilt für alle (nicht A_n)

Beispiel:

• 6|n (6 teilt die Zahl n) wenn (2|n) und (3|n)
• ¬(6|n) wenn ¬(2|n) oder ¬(3|n) - 9 wird von 3 geteilt aber nicht von der 2 - also teilt 6 die 9 nicht. 8 wird von 2 geteilt nicht aber von 3 also teilt 6 die 8 nicht. 12 wird von der zwei und von der drei geteilt - also teilt die 6 auch die 12.

Daheim habe ich es noch gekonnt.

"Es soll schwerer sein am Bekannten sich zu orientieren – statt sich auf das Bekannte zu reduzieren."

Was ist eine Partition?

Def: Eine Partition einer (endlichen) Ω (Grundmenge Omega) ist eine Darstellung von Ω als die disjunkte Vereinigung von paarweisen diskunkten Mengen.

℘ (anderes altdeutsches Phantasie P) = (Ω a= ∑ A_i)

Paarweise Disjunkt A_i ∩ A_j = ∅ (Leere Menge) Die Menge der Geraden natürlichen Zahlen bis 100 und die Menge der ungeraden Zahlen bis 100 sind beides endliche Mengen - Die Grundmenge Omega sind die Zahlen 1-100 - Beide Mengen sind diskunt - Keine gerade Zahl ist gleichzeitig eine Ungerade Zahl.

Paarweise disjunkt ist genauer als disjunkt.

A = ∑ A_i A= Vereinigung (∪) A_i und A_j sind paarweise disjunkt. (??)

¹A = ∑(¹A) – so kann nur eins oder null vorkommen. (??)

Beispiel ist ein Kreis, der durch zwei Striche in drei Teile geteilt werden kann so dass jedes Teil für sich steht (A₁, A₂, A₃)

A_i ≠ ∅ heißen "Atome der Partition"

Def: Eine Partition ℘₂ (Ω = ∑ A_i) heißt Verfeinerung der Partition ℘₁ (Ω = ∑ B_j) wenn jedes Atom B_j in NUR einem A_i enthalten ist.

Zeichen für Verfeinerung: ⪠(Eine Art Fisch mit unterschrich ><> (Rundlich))

P2 ⪠ P1 ⇒ (P2 verfeinert P1 - Der Unterstrich bedeutet nicht echt verfeinert – kann also dieselbe Menge sein)

P2 ist Verfeinerung von P1

Disjunkt

℘1 = ℘2 wenn ℘2 ⪠ ℘1 und ℘2 ⪠ ℘1 (Die Partitionen ℘1 und ℘2 sind gleich wenn ℘1 ℘2 verfeinert und ℘2 ℘1 verfeinert)

Beispiel:

Faktorisierungen der Zahl 60.

℘₁ = 2*2*3*5

℘₂ = 2*1*30*1

℘₃ = 2*5*2*3

Die Reihenfolge ist egal. Unklar ist, ob dies disjunkte Mengen sind.

℘₄ = 10 * 6

℘₂ ist nicht feiner als ℘₄

"Bekanntes wird schlampig gemacht – Unbekanntes wird genauer definiert."

ℳ (Altdeutsches M) = Menge aller Partitionen (℘) von Omeaga (Ω)

Ordnung

(verifizieren)

(geordnete)

Was ist eine Partition – Welche Elemente gehören dazu – Wann sind zwei Elemente gleich? A <= a für alle a a <= b b <=a = a = b a kleiner gleich b ; b kleiner gleich c → a kleilner gleich c

Ordnung

• ω ∈ A Menge ⊆ Omega
• ℘ Partition (Partition ist eine Menge von Mengen)

• Mengensystem ist eine Partition
• Inklusion (Teilmenge von)
• Altdeutsches A , Altdeutsches A2

Mengenüber Omega

Ẩ2 ⪠ Ẩ1 (Ẩ2 ist Verfeinerung von Ẩ1) wenn A2 ⊇ A1 Ẩ1 ⪟ Ẩ2 (Ẩ1 ist Vergröberung von Ẩ2) wenn A2 ⊇ A1

Jede Mengenalgebra über einer endlichen Grundmenge Ω ist von einer Partition von Ω erzeugt.

Kreis mit drei Strichen = 4 Atome

Wenn die Partion k Atome hat dann hat die erzeugte Mengenalgebra 2^k Elemente.

Kreis mit zwei Strichen = 3 Atome → 8 Elemente.

Nämlich:

• A₁
• A₂
• A₃
• A₁ ∪ A₂
• A₁ ∪ A₃
• A₂ ∪ A₃
• A₁ ∪ A₂ ∪ A₂ = Ω
• ∅ (Leere Menge)

Die Verfeinerung hat eine größerer Menge (Beispiel Frauen – Menschen) (?=)

(ℳ, Alle Verfeinerungen) ist ein Verband

(M <=) Def: Geordnete Menge heißt ein Verband wenn zu je zwei Elementen a, b das Maximum und das Minimum existiert.

A ⋎ B (Max) – A ⋏ B (MIN) (Wird auch geschrieben als A ∨ B und A ∧ B)

Das Maximum ist die kleineste oberere Schranke - das Minumum die größte unterste Schranke.

Beispiel: (N,|) N wird geteilt

6 ⋏ 10 = 30 (kleinste obere Schranke KGV)

6 ⋎ 10 = 2 (größter unterste Schranke GGT)

Manche Partiellen Ordnungen sind ein Verband manche sind keine.

Beispiel Ein Graph

A → B → D → F → G

A → C → E → F → G

B → E

C → D

A

|\

B C

|X |

D E

|/

F

|

G

Zu je zwei Partionen gibt es eine kleinste Verfeinerung und eine größte Vergröberung (oder umgekehrt)

Ω = ∑(A_i, B_i) größte gemeinsamen Verfeinerungen erzeugt sein.

Ein Verband ist ein spezieller Typ von Partitonen.

Siehe auch

• Mitschrift als PDF
• Mitschrift als ODT (Open Office)
• Skripte